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Billets classés dans ‘Mathématiques’

15 juillet 2009

L’aire des rectangles – Épisode 2: La constance du ratio

Ce billet fait suite à la discussion entamée ici autour de la fascinante question qu’est l’aire des rectangles à diagonale fixe.

Dans les commentaires du précédent billet sur cette question hautement sous-exploitée dans les médias traditionnels qu’est l’aire des rectangles, Francis soutient, de «source sûre», que «pour une même diagonale, un écran large (16:9) aura une aire exactement 12,3% plus petite qu’un écran traditionnel (4:3).». Or cette source, tout autant sûre qu’elle soit, n’a pas été en mesure de lui faire la preuve que ce pourcentage sera constant peut importe la valeur de la diagonale en question.

Voici donc une explication en bonne et due forme.

Considérons toujours un rectangle de dimensions a x b, de diagonale d et d’aire A. Explicitons l’aire de deux rectangles dont le ratio des côtés sont respectivement 16:9 et 4:3. On a donc, pour chacun des rectangle :

$\frac{b_1}{a_1} = \frac{16}{9}$

$\frac{b_2}{a_2} = \frac{4}{3}$

D’où

$b_1= \frac{16}{9}a_1$

$b_2= \frac{4}{3}a_2$

L’aire du rectangle 1 est donc

$A_1 = a_1 b_1$

$= \frac{16}{9}a_1^2$

et celle du rectangle 2 est

$A_2 = \frac{4}{3}a_2^2$

Le ratio entre les deux aires est

$\frac{A_2}{A_1} = \frac{\frac{4}{3}a_2^2}{\frac{16}{9}a_1^2}$

$= \frac{3a_2^2}{4a_1^2}$

Maintenant, on sait que la diagonale est la même entre les deux rectangles, donc, du théorême de Pythagore, ont peut dire que:

$a_1^2 + b_1^2 = a_2^2 + b_2^2$

En utilisant les ratios propre à chacun des rectangles, et en substituant pour b, on a:

$a_1^2 + (\frac{16}{9}a_1)^2 = a_2^2 + (\frac{4}{3}a_2)^2$

Que l’on peut réduire à:

$\frac{337}{81}a_1^2 = \frac{25}{9}a_2^2$

$a_1^2 = \frac{225}{337}a_2^2$

On peut maintenant reprendre notre ratio $\frac{A_2}{A_1}$ et substituer pour $a_1^2$ :

$\frac{A_2}{A_1} = \frac{3a_2^2}{4a_1^2}$

$= \frac{3a_2^2}{4(\frac{225}{337}a_2^2)}$

$= \frac{3*337}{4*225}$

$= \frac{1011}{900}$

$= 112,33 \%$

L’aire de l’écran 4:3 est donc 12,3% plus grande que l’aire de l’écran 16:9. Et, pour être tout à fait rigoureux, l’écran 16:9 est non pas 12,3% mais bien 9,98% plus petite que l’écran 4:3. Peu importe comment on présente le résultat, il demeure que dans tous les cas, ce pourcentage ne dépend pas de la largeur de la diagonale (ce n’est pas surprenant: un rectangle est un rectangle, qu’il soit grand ou petit). QED.

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14 juillet 2009

L’aire des rectangles

Classé dans Mathématiques

De retour de voyage, un message m’attend:

(bip bip…) Allo Vincent, c’est Sylvain.

Je sais que tu es à Seattle, mais c’est pas grave, tu me répondras quand tu reviendras. Je suis chez Francis et on a une question existentielle d’ordre mathématique. Quand on a un écran qu’on mesure en nombre de pouces et qu’on calcule la diagonale, si l’écran est rectangle plutôt que carré, est-ce que ça implique que plus l’écran est rectangle, plus il a une petite aire pour une même diagonale, parce qu’un carré aurait une plus grande aire pour une même diagonale?

Voilà, c’est une question élémentaire de mathématique, mais on ne connaît pas la réponse et on se disait que tu la connaîtrais sûrement. À ton retour de Seattle, j’espère que ça sera ta première priorité de répondre à notre question.

Merci et j’espère que tu passe un bon voyage.

Bye bye. (bip bip…)

Salut Sylvain,

Merci pour ta question, qui s’est aussitôt imposée comme étant mon unique centre d’intérêt depuis mon arrivée de l’aéroport, il y a deux jours.

Je comprends tout à fait d’où peuvent provenir vos interrogations, à Francis et toi. L’achat d’un écran est un événement important que l’on gagne à soigneusement préparer. Il est tout à fait louable de vouloir connaître la surface véritable qu’un écran occupe, indépendamment de sa «diagonale», une donnée qui n’évoque absolument rien dans notre imagination. Tout comme vous, je préférerais grandement acheter mes écrans au mètre carré.

Voici ma réponse:

Soit un rectangle de dimensions a par b et de diagonale d. D’après le théorême de Pythagore, on sait que

$d^2 = a^2 + b^2$

et donc que

$a = \sqrt{d^2 - b^2}$

L’aire du rectangle est

$A = ba$

En substituant pour a, on obtient

$A = b \sqrt{d^2 - b^2}$

On peut déjà voir, dans cette équation, que l’aire ne dépend pas que de la diagonale, mais bien aussi de la longueur des côtés. Afin d’avoir une meilleure idée de ce comportement, on peut dresser un graphique de la fonction A(b).

Voici donc l’aire du rectangle (ordonnée) en fonction de la longueur du côté b (abscisse) pour une diagonale fixe.

Aire en fonction de la longueur d'un côté, pour une diagonale fixe

On peut voir sur ce graphique que l’aire sera maximale lorsque b = a, donc lorsque l’écran sera un carré. Pour répondre à la question, plus le rectangle est rectangle, (donc plus $| a - b |$ est élevé), plus son aire sera petite.

D’après le graphique, on peut voir que, étrangement, lorsque b augmente par rapport à a, son aire diminue plus rapidement que lorsque b diminue par rapport à a. Pourtant, a et b devraient être complètement interchangeables dans nos équations et sur le graphique. Comment expliquer cette apparente asymétrie?

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27 novembre 2008

Du cercle à la ligne

Classé dans Mathématiques, Physique

Ce vidéo intitulé «Chebyshev’s Foot-Stepping Machine», de Nikolai Andreev, illustre bien le fonctionnement de la liaison mécanique de Tchebychev, un mathématicien Russe du 19^e siècle. Illustrée dès le premier plan du film, la liaison de Tchebychev permet de transformer un mouvement rotatif en un mouvement linéaire.

Plus tard dans le film, on voit comment le mécanisme est utilisé dans ce qui est appelé le «Cheval de Tchebychev», une machine à quatre pattes avançant linéairement tout en maintenant une plateforme à hauteur constante, le tout étant propulsé par un mouvement initial circulaire.

Une belle alternative à nos bonnes vieilles roues.

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